मान लीजिए vec{a} = 3hat{i} + 2hat{j} + xhat{k | vedclass

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Question

(A) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} 	imes \vec{b}$ की गणना करें:$\vec{a} 	imes \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 3 & 2 & x \

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$r \geq 5\sqrt{\frac{3}{2}}$

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(A) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} 	imes \vec{b}$ की गणना करें:$\vec{a} 	imes \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 3 & 2 & x \ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 + x) - \hat{j}(3 - x) + \hat{k}(-3 - 2) = (x + 2)\hat{i} + (x - 3)\hat{j} - 5\hat{k}$.अब,इसका परिमाण $r = |\vec{a} 	imes \vec{b}|$ ज्ञात करें:$r^2 = (x + 2)^2 + (x - 3)^2 + (-5)^2$$r^2 = (x^2 + 4x + 4) + (x^2 - 6x + 9) + 25$$r^2 = 2x^2 - 2x + 38 = 2(x^2 - x + 19)$.कोष्ठक के अंदर के व्यंजक के लिए पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करें:$r^2 = 2\left((x - \frac{1}{2})^2 + 19 - \frac{1}{4}ight) = 2\left((x - \frac{1}{2})^2 + \frac{75}{4}ight) = 2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{75}{2}$.चूंकि $(x - \frac{1}{2})^2 \geq 0$,इसलिए $r^2$ का न्यूनतम मान $\frac{75}{2}$ है।अतः,$r^2 \geq \frac{75}{2} \implies r \geq \sqrt{\frac{75}{2}} = 5\sqrt{\frac{3}{2}}$.इस प्रकार,शर्त $r \geq 5\sqrt{\frac{3}{2}}$ है।

मान लीजिए $\vec{a} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + x\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,किसी वास्तविक $x$ के लिए। तो $|\vec{a} \times \vec{b}| = r$ संभव है यदि

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एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जो $\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ के साथ समतलीय हो और $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के लंबवत हो।

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$\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ और $-\hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}$ के समतल के लंबवत $10 \sqrt{3}$ परिमाण वाले सभी सदिश ज्ञात कीजिए।

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